样条KAN逼近阶与稳定性矛盾被破解，最优层预算精确解出炉
Stability-Constrained Approximation in Spline KANs: Exact Layer Balancing and Budget-Compatible Saturation
📖 AI 总结
本文研究深度样条叠加网络在逐层 Lipschitz 预算约束下的逼近问题，核心围绕两个量展开：给定深度分解的因子化稳定性复杂度，以及离散化算子的预算兼容逼近复杂度。作者首先精确求解了固定非负包络矩阵链的有限深度对角平衡问题，证明最优均匀层预算等于矩阵乘积的无穷范数 L 次根，并可由显式单遍最小化器达到；该最优值可能远大于网络自身的 Lipschitz 常数，因为取包络会破坏符号抵消。其次，作者给出保持预算（允许可控松弛）的构造性样条离散化定理及显式网格阈值，并对精确保持预算的线性样条算子，在一阶与三阶导数范数同时约束下证明了预算兼容的极小极大下界。最后表明层误差在复合时未必抵消，深度 L 的稳定塔可实现累积误差的常数比例，说明误差随深度线性累积并非上界证明的假象。
🔑 关键词速览
| Spline KANs | 样条Kolmogorov-Arnold网络，一种使用样条函数作为可学习激活函数的深度网络架构。 |
| Lipschitz budget | 逐层Lipschitz常数预算，限制每层函数变化率的硬性约束。 |
| factorisation stability complexity | 因子分解稳定性复杂度，衡量深度分解在复合过程中稳定性的量。 |
| budget-compatible approximation complexity | 预算兼容逼近复杂度，在满足Lipschitz预算下离散化算子的逼近能力度量。 |
| minimax lower bounds | 极小极大下界，在函数类上最优逼近误差的理论下界。 |
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