低维结构破解函数空间测度难题，误差仅由维度决定！
Approximating Measures on Function Spaces: Transport and Truncation
📖 AI 总结
本文研究函数空间上测度的逼近问题，这类测度常见于贝叶斯反问题与生成建模，通常相对于一个易于处理的参考测度具有低维结构。作者引入了一类测度，其与参考测度的差异仅通过一个有限维映射体现，同时保留参考测度在纤维上的条件分布。这类测度由其d维推前分布决定，并具有便于计算的块三角传输映射表示，采样时可先从该d维分布抽样，再通过参考条件分布补全到函数空间。对于高斯参考测度，此类传输映射是恒等映射的有限秩扰动；而最优传输映射则不具备这种低维结构，即使协方差扰动为有限秩，其修正项的秩通常也是无限的。作者建立了该类测度的逼近理论及拟合误差分析，将总误差分解为不可约的类误差与由映射维度决定的有限维边缘项，并给出低维非线性观测推断、跳过程先验下的反卷积及Navier-Stokes流状态估计等数值实验。
🔑 关键词速览
| 函数空间上的测度 | 定义在函数空间（如路径空间或希尔伯特空间）上的概率测度，常用于贝叶斯反问题和生成模型。 |
| 推前分布 | 通过一个映射将原测度变换到新空间上得到的分布，即 $\psi_\#\mu$。 |
| 传输映射 | 将一个概率测度变换为另一个概率测度的映射，常用于最优传输和生成建模。 |
| Cameron-Martin 几何 | 高斯测度下由 Cameron-Martin 空间诱导的几何结构，用于刻画测度的平移和扰动。 |
| 迹类扰动 | 在希尔伯特空间中，算子的迹类扰动是指其奇异值之和有限的扰动，常用于分析无穷维算子的紧性。 |
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