单层噪声得分场就能还原分支几何？数学证明：任意维度下，K条分支仅需KD-1个切向分量！
Recovering Weighted Tangent Geometry from a Single-Scale Score Field
📖 AI 总结
该论文研究如何从单一噪声水平的分数场中恢复加权切空间几何。在光滑数据流形附近，切空间概括了局部几何结构，而在分支点处，一阶对象变为切方向上的测度，其归一化质量反映各分支的局部占比。作者在切测度模型中证明，高斯平滑后的齐次切测度满足奥恩斯坦-乌伦贝克特征函数方程，其弱形式可将分数值转化为关于中心和齐次度的线性系统，无需计算分数导数。通过校准后，单一球面上的切向分数可恢复归一化角测度，且所有球谐乘子为正，从而在任意维度D≥2中实现精确恢复。对于至多K个正射线，利用2K-1阶矩可构造性恢复数量、方向和权重。实验表明，50k步训练虽降低验证分数误差，却提高角矩误差，揭示普通分数拟合与几何恢复之间的本质区别。
🔑 关键词速览
| score field | 得分场，即对数概率密度函数的梯度，用于表示数据分布的局部变化方向。 |
| tangent measure | 切测度，在分支点处描述切方向分布的测度，用于概括局部几何。 |
| Ornstein--Uhlenbeck eigenfunction equation | 奥恩斯坦-乌伦贝克特征函数方程，描述高斯平滑下齐次测度的变换性质。 |
| Gaussian--cone transform | 高斯-锥变换，将锥上的测度映射为球面上的标量函数，用于恢复角测度。 |
| spherical-harmonic multipliers | 球谐乘子，在球谐分解中作用于各阶系数的因子，用于分析变换的性质。 |
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