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本文研究概率测度上的Toscani–Fourier距离族T_{s,p}，即两个特征函数之差的加权L^p范数，将其作为R^d上一种计算上更易处理的傅里叶侧差异度量。作者刻画了该距离在P_p(R^d)上有限的参数窗口，即d/p<s<1+d/p，并证明两端点对一对狄拉克测度即失效；同时建立了相应度量空间的度量、嵌入与紧致结构，并证明其完备性。通过对偶性，T_{s,p}被识别为齐次傅里叶–勒贝格球上的积分概率度量，并在1<p<∞时给出显式极值元。文章证明了全局上界T_{s,p}≲W_p^{s−d/p}且指数最优，说明任何形式的全局反向不等式均不成立，并在有界支撑与一致尾类上恢复与W_p的拓扑等价性，给出显式反向模，在p=2时改进了已有的能量核指数。此时T_{s,2}是经典能量距离的常数倍，由此得到经验差异均值的精确有限样本恒等式。

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