无散场学习砍掉冗余维度，预测误差更低、鲁棒性更强！
Learning in the Transverse Subspace: A Minimal Representation for Divergence-Free Operator Learning
📖 AI 总结
本文研究无散度向量场在算子学习中的表示问题。作者指出，包括神经守恒律势函数在内的冗余参数化会将多个辅助表示映射到同一物理场，虽然这种多对一映射能通过扩大等价解集合降低静态拟合误差，却无法为算子学习提供唯一的状态表示。为此，作者提出一种最小表示方法，将D维域上的实D分量无散度向量场编码为同一域上的D-1分量场，利用傅里叶空间中不可压缩性所施加的横向结构，通过Householder正交变换直接构造约化坐标。对于周期和闭合不可渗透场，该变换可逆、等距且保角；对于开放非周期流动，则通过傅里叶延拓构造兼容的周期场，并以最小能量准则选取唯一约化表示。神经算子在约化空间中学习时间演化，推理时直接解码为物理无散度场，无需预测环境场或事后投影。实验表明存在任务相关的权衡：冗余有利于静态优化，而唯一可逆坐标更适合时间动力学，该方法在保持无散度约束的同时实现了更低的预测误差和更强的鲁棒性。
🔑 关键词速览
| 无散向量场 | 散度为零的向量场，常用于描述不可压缩流体等物理系统。 |
| 神经守恒律（NCL）势 | 一种通过势函数参数化无散向量场的神经网络方法，但存在冗余表示。 |
| 横向子空间 | 在傅里叶空间中，与波矢垂直的子空间，用于构造无散场的约化表示。 |
| Householder 正交变换 | 一种通过反射构造正交矩阵的线性代数方法，用于实现坐标约化。 |
| 神经算子 | 学习函数空间之间映射的神经网络，用于求解偏微分方程等任务。 |
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