扩散先验何时靠谱？新理论给出希尔伯特尺度稳定性阈值！
Hilbert-Scale Stability of Posterior Diffusion Priors for Ill-Posed Signal Recovery
📖 AI 总结
该论文研究希尔伯特尺度上线性逆问题的后验扩散先验稳定性，针对前向算子平滑导致观测信息不足的病态信号恢复场景。作者在显式的分数放大条件下建立稳定性理论，结合前向映射的平滑条件、真值的源条件和分数误差的弱范数控制，给出非渐近恢复界，将观测噪声、分数近似误差和逆时离散化误差分离。由此得到一个可恢复正则性阈值，由算子平滑程度、真值正则性、分数正则性和后验修正共同决定，界定了弱范数分数误差经后验逆动力学传播后仍受控的希尔伯特尺度范围；当正则性指标较大时，逆几何会放大同一误差，均匀稳定性不再成立。研究还证明，在前向算子平滑作用最显著的正则性区间内，适配前向算子的后验修正比各向同性引导具有更好的稳定性。该工作为后验扩散提供了正则性敏感的理论框架，阐明了学习分数误差、算子平滑与重建范数如何共同决定分析的稳定范围。
🔑 关键词速览
| Hilbert scales | 一族按正则性（光滑度）参数化的希尔伯特空间，用于刻画信号在不同尺度上的性质。 |
| Diffusion priors | 基于扩散模型学习到的数据分布先验，通过得分匹配训练，用于生成或重建信号。 |
| Score amplification condition | 一种显式条件，控制得分函数（数据对数密度的梯度）在反演过程中的放大程度，以确保稳定性。 |
| Posterior correction | 在扩散后验采样中，根据前向算子调整引导项以校正后验分布的方法。 |
| Non-asymptotic recovery bounds | 对有限样本和有限迭代次数下重建误差的显式上界，不依赖于渐近近似。 |
📱 每天一份 AI 前沿日报
关注公众号，每天 09:00 推送 · 不错过任何重磅