Sinkhorn估计新突破：固定正则化下统计速率n^{-1/2}，几何条件实现多项式依赖！
Uniform Statistical Convergence of Empirical Sinkhorn Potentials with Exponential and Polynomial Dependence on the Regularization Parameter
📖 AI 总结
本文研究了熵正则化最优传输中Sinkhorn势函数的经验估计问题，重点关注其在均匀损失下的统计收敛性质。由于势函数仅相差一个加性常数，作者采用商上确界范数来度量误差。对于固定正则化参数ε，文章建立了非渐近的n^{-1/2}统计收敛速率，但该速率的常数随1/ε呈指数增长。为改善这一局限，作者提出了多项式残差稳定性条件，在满足该条件时，经验估计器仍保持n^{-1/2}速率，且对1/ε的依赖变为多项式形式。文章给出了两类可验证的模型类——经可分离中心化后的ε-弱残差交互类，以及基于离散成本连通紧边图的模型——在这些模型下多项式速率得以保证。最后，作者建立了匹配的极小极大下界，证明在有界交互机制下ε·n^{-1/2}的速率无法被一致改进。
🔑 关键词速览
| Sinkhorn估计量 | 一种基于Sinkhorn算法估计熵最优传输势的统计量，用于近似最优传输映射。 |
| 熵最优传输 | 在最优传输问题中加入熵正则化项，使问题可解且计算高效。 |
| Birkhoff-Hopf压缩定理 | 用于证明正线性算子在投影度量下具有压缩性的定理，常用于收敛性分析。 |
| 极小极大下界 | 在统计估计中，任何估计器在最坏情况下的误差下限，用于评估方法的理论最优性。 |
| 正则化参数 | 控制熵正则化强度的参数，通常记为ε，影响估计的偏差和方差权衡。 |
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